есть РФИД метки в виде карточек - там видно - катушка довольно большая (по периметру карты) так эту катушку можно попробовать на ошейник (с небольшим запасом) сделать, тогда будет безразницы какой стороной оно провернётся, или так: одно кольцо и кондей вместо брошки - будет колеб. контур (по частотам различать)
Совет от sstvov, самый практичный. Чужой кот кнопке точно обучен не будет. Моя кошка когда хочет выйти на улицу или зайти, подходит к окну и мяукает. Настроить на этот тембр микрофон и наладить срабатывание реле. На "мяу" может сработать первый контур открывания, а после просовывания головы с ошейником в проём, через магниты на ошейнике и геркон второй контур.