Котаны, зацените идею.
Преобразование Хевисайда для цепей с ключамиСамый гнусный вид задач по ТОЭ - это задачи на переходные процессы в цепях с переключением. Тут наличествует весь набор удовольствий: и прямое преобразование Лапласа (ну это легко), и вычисление передаточной функции (тоже халява), и обратное преобразование Лапласа (интегрирование по комплексной плоскости, вычеты, все дела), и, наконец, поиск начальных условий. Последний пункт самый тухлый, особенно когда пределы искомой величины справа и слева от t=0 не равны между собой. Сам я не проверял, но злые языки (Kullstam 1992) утверждают, что из-за этого решение для случая разрывного тока в трансформаторе занимает в учебнике 9 страниц. Здесь, для примера, я возьму задачку попроще, из Основ электротехники К.А.Круга.
Требуется найти ток в цепи. Для такой простой задачи это можно сделать даже в уме. Начальный ток V/(r+R), конечный ток V/R, переходной процесс идет по экспоненте с постоянной времени L/R.
Теперь проведем расчет с помощью преобразования Хевисайда, получив зависимость i(t) для t от минус до плюс бесконечности, не прибегая к вычислению начальных условий. Передаточную функцию легко найти, проблема только в том, что их будет две: i(p)=V/(r+R+L*p) до замыкания ключа (t<0) и i(p)=V/(R+L*p) после (t>0). Такой проблемы нет в одностороннем обратном преобразовании Лапласа, ведь процессы там рассматриваются начиная с момента переключения (t>0), а вся предыстория системы заключена в начальных условиях. Для одностороннего преобразования Лапласа совершенно не важно, что происходило с цепью до переключения. Цепи, как таковой, для t<=0 вообще могло и не существовать. Учитываются лишь только исходные токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах на момент времени t=0+.
Преобразование Хевисайда же работает только в том случае, когда топология цепи постоянна от начала до конца времён и не меняется в процессе переключения. Поэтому попытки, к примеру, промодулировать сопротивление r единичным скачком приводят к тому, что скачок попадает в знаменатель и преобразование становится невозможно осуществить. Чтобы зафиксировать топологию цепи для всех t, предлагается рассмотреть два варианта, в зависимости от того, замыкается или размыкается ключ в момент t=0. Если ключ замыкается, то он замещается источником напряжения, который равен нулю после замыкания (t>0). Если же ключ размыкается, то он замещается источником тока, который также равен нулю после замыкания (t>0). В том случае, когда ключ SPDT (т.е. перекидывается между двумя положениями), то нужно использовать и источник тока, и источник напряжения.
Для того, чтобы найти зависимость для этих замещающих источников для t<0, нужно решить задачу для установившегося режима (постоянного, переменного, или обоих сразу) для тока или напряжения на ключе в исходном положении. То есть, если ключ замыкается, то нужно найти напряжение на разомкнутом ключе для t<0, а если размыкается, то исходный ток через ключ. Для режима постоянного тока достаточно теоремы о конечном значении, но если цепь возбуждается переменным током, то нужно получить временную зависимость (т.е. f(t), а не f(p)) с помощью того же преобразования Хевисайда.
Таким образом, до момента переключения к ключу приложено напряжение (или ток), компенсирующее изменение в топологии цепи из-за переключения. Поэтому напряжения и токи в цепи до переключения будут точно такие же, как и для исходной топологии. В момент переключения это компенсирующее воздействие обнулится и начнётся переходный процесс. Топология цепи всё это время остается неизменной, поэтому для расчета становится возможным использовать преобразование Хевисайда. Начальные условия при этом вычисляются автоматически сами собой.
Конкретно для этой задачи мы знаем, что для t<0 напряжение на ключе равно v(t)=V*r/(R+r). Теперь ключ заменяется источником напряжения v, который подключается параллельно сопротивлению r. До переключения этот источник напряжения повторяет напряжение на резисторе r, поэтому ток через этот источник равен нулю и на цепь никак не влияет. Теперь для этой цепи находим новую передаточную функцию, которая равна i(p)=(V-v(p))/(p*L+R) и применяем к ней преобразование Хевисайда для v(t)=V*r/(R+r)*[1-1(t)], где 1(t) - едничный скачок или функция Хевисайда. Дальше дело техники: i(t)=V/(r+R)*[1+(r/R-(r/R)*exp(-t*R/L))*1(t)] для любого t.
Вообще, чем дальше, тем больше прихожу к выводу, что решение задач по ТОЭ можно практически полностью алгоритмизировать. А пока с нетерпением жду вашей критики.