Здесь принимаются все самые невообразимые вопросы... Главное - не стесняйтесь. Поверьте, у нас поначалу вопросы были еще глупее :)
Ответить

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб мар 06, 2021 12:27:20

Решил ещё пару задачек на многократные последовательные переключения с помощью преобразования Хевисайда. Сначала запишу определение единичного скачка, как оно дано в первоисточнике (Kullstam 1992):
Изображение

Задача 1. Меандр проходит через полосовой фильтр второго порядка. Найти форму выходного сигнала, если демпфирование фильтра больше критического.

Можно записать передаточную функцию фильтра сразу, без составления эквивалентной схемы на ОУ:
Изображение
Здесь ωH и ωL – верхняя и нижняя угловая частота среза фильтра.
На вход фильтра поступает бесконечная последовательность противоположно направленных единичных скачков, разделенных интервалами T/2. Запишем выходной сигнал как бесконечную сумму:
Изображение
Теперь получим зависимость выходного сигнала для одного полупериода t∈(0;T/2]. К этому моменту режим уже будет установившимся, поскольку от момента включения схемы прошло бесконечное время.
При этом для t>0 все единичные скачки c n≤0 в аргументе будут равны единице, поэтому можно записать
Изображение
Вычислив сумму с помощью формулы для бесконечной знакопеременной геометрической прогрессии, получаем
Изображение
В силу симметрии сигнал во втором полупериоде повторяет первый с обратным знаком.
Ответ:
Изображение
Если кто будет сверяться с численным моделированием в SPICE-симуляторе, то ставьте больше точек в зависимом функциональном источнике Лапласа, иначе решение разъезжается.

Задача 2. На интегратор, выполненный на ОУ, подается прямоугольный импульс тока длительностью T. Найти форму выходного сигнала с учетом баллистической ошибки (т.е. рассматривается эффект, когда выход реального интегратора не поспевает за выходом идеального, из-за ограниченной полосы усиления ОУ.)
Изображение
Красная линия - выход идеального интегратора, зеленая - реального.

Устойчивый при единичном усилении “реальный” ОУ, как известно, при разомкнутой ОС имеет коэффициент усиления A(p)=A0/(1+pτ). Здесь A0 - коэффициент услиения ОУ по постоянному току, τ – постоянная времени первого полюса. Величина A0/τ равна угловой частоте единичного усиления. Но в даташитах эта частота (Gain-bandwidth product, GBP) указывается в герцах, т.е. A0/τ=2π·GBP.
Передаточная функция интегратора представляет собой трансимпеданс, т.е. отношение выходного напряжения к входному току. Её можно вычислить, воспользовавшись теоремой Миллера.
Изображение Изображение
Далее считаем A0 достаточно большой величиной, так что A0 ≈ A0+1. Входной ток записывается как разность двух единичных скачков, отстоящих друг от друга на интервал T. Запишем выражение для выходного напряжения:
Изображение
Раскрываем скобки и записываем ответ в виде наглядной таблички с составляющими выходного сигнала.

Ответ:
Изображение
Прошу заметить, никакой высшей математики для этих расчетов не потребовалось :))) .

Re: Символьный решатель линейных цепей

Ср мар 10, 2021 22:54:55

Разумеется, эту же задачу с интегратором можно решить и односторонним преобразованием Лапласа (точнее, Карсона). Поскольку начальные условия нулевые, то можно не синтезировать эквивалентную RC-цепочку для собственного полюса ОУ, а воспользоваться уже выведенной передаточной функцией F(p). По теореме запаздывания входное воздействие из двух противоположных скачков записывается как I(p)=I0[1-exp(-pT)]. Тогда изображение выходного сигнала:
Изображение
Преобразуем изображение в оригинал:
Изображение
В такой записи интегрирование идёт всё время t>0, но в момент T прекращается включением компенсирующего воздействия. Можно привести её к такой форме, как в предыдущем решении по Хевисайду. В остальном разницы нет, спасибо нулевым начальным условиям.

Увы и ах, для первой задачи с фильтром начальные условия нулю не равны, но зато процесс к моменту t=0 уже установился. Чтобы решить такую задачу преобразованием Лапласа, придётся составлять эквивалентную схему фильтра и вводить туда дополнительные источники, которые формируют начальные условия. При этом схему желательно составить так, чтобы минимизировать количество вычислений.
Начнём с ФНЧ. Его выходное напряжение V’, приложенное к конденсатору CH, будет являться входным сигналом для ФВЧ.
Изображение
В начальный момент t=0 напряжение на конденсаторе CH равно нулю, а начальное условие задается последовательно включенным напряжением vH. Запишем выходное напряжение:
Изображение
Входное напряжение Vi(p) за один период T можно представить как разность двух единичных скачков, как было сделано выше:
Изображение
Переходим от изображения к оригиналу:
Изображение
Для установившегося режима напряжение к концу периода возвращается к своему исходному значению, т.е. V’(0)=V’(T). Воспользовавшись этим фактом, вычислим vH:
Изображение
Теперь переходим к ступени ФВЧ.
Изображение
C помощью формулы делителя напряжения записываем зависимость для выходного сигнала:
Изображение
Теперь срежем угол: ФВЧ не пропускает постоянную составляющую, поэтому достаточно исследовать этот сигнал только за первую половину периода. Подставляем в это выражение сигнал V’(p), отбросив экспоненциальную составляющую от второго скачка:
Изображение
Переходим от изображения к оригиналу:
Изображение
Так как постоянной составляющей нет, то этот сигнал за половину периода меняет свою полярность, т.е. V(0)=-V(T/2). Отсюда находим начальное условие:
Изображение
Теперь подставляем начальные условия в предыдущее выражение и после некоторых вычислений получаем много исписанных и смятых листов бумаги, что в первой половине периода (0<t≤T/2):
Изображение
Во втором полупериоде этот сигнал повторяется с обратным знаком.

Из одного размера решения видно, что преобразование Хевисайда в этой задаче имеет существенное преимущество. Пока я не вижу рациональных объяснений, по какой такой причине почти век назад электротехника перешла к одностороннему преобразованию Лапласа. Видимо, пришла пора поглубже погрузиться в историческую литературу.

Re: Символьный решатель линейных цепей

Вс мар 14, 2021 17:55:09

Упс, была лажа в формулах. Но на результат не влияет. Правильные формулы для ФНЧ:
Изображение
и для ФВЧ:
Изображение

Ещё попробовал решить эту же задачу Лапласом без поиска начальных условий, а просуммировав (бесконечную) последовательность из N единичных скачков. Но поскольку суммировать приходится в точку t=+∞, т.е. брать предел суммы при N->+∞, то ряд из экспонент получается расходящимся. Не прокатило - вычёркиваем.

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 06, 2021 14:21:50

Понуллируем?

Посетила мысль, что расчёт делителя для TL431 можно сделать с помощью нуллирования (НЁХ). Не то чтобы в этом была нужда, а просто ради примера.
Изображение
Известно, что TL431 открывается, когда разность потенциалов между управляющим электродом и анодом превышает 2.5 вольта. Как правило, анод заземлён, поэтому для простоты считаем, что TL431 открыт, когда напряжение Vref на управляющем электроде составляет 2.5 вольта.

Разберём два вопроса:

1) При каком входном напряжении V откроется TL431, если известны сопротивления RH и RL.
Изображение
Представим, что TL431 находится на пороге открывания, то есть потенциал в точке соединения RH и RL равен Vref=2.5 вольта. Устанавливаем это напряжение на резисторе RL, подключив параллельно ему источник напряжения Vref. Сразу же возникает проблема: через Vref начинает течь ток, которого не существует в реальной схеме (входной ток TL431 составляет единицы микроампер – им можно пренебречь). Иначе говоря, добавление источника Vref нарушило топологию схемы. Чтобы её восстановить, нужно каким-то образом обнулить ток через Vref. Сделаем это, подключив вместо входной батареи V управляемый источник CCVS H (или CCCS F – без разницы) с бесконечным коэффициентом усиления. Этот источник управляется током i, протекающим через Vref. При сколь угодно малом отклонении этого тока от нуля источник H приложит любые усилия, чтобы вернуть его обратно к нулю. Теперь топология восстановлена, а источник Vref стал одновременно и источником напряжения, и обрывом цепи.

Нетлист:
Решаем и получаем, что напряжение на CCVS (т.е. бывшей батарее V, узел 1) равно:Изображение

2) Каким нужно выбрать номинал RH, чтобы TL431 открылся при заданном входном напряжении V.
Изображение
Здесь батарея V является известным элементом (возвращаем её на место), а неизвестным становится резистор RH. Заменяем его на CCVS H. Чтобы найти сопротивление, которым прикинется CCVS H в этой схеме, нужно вычислить его DPI (передаточная функция, импеданс). Это делается добавлением в нетлист строки [ T H ].
После решения получаем величину сопротивления RH: Изображение

Практический пример. Пусть RL=10 кОм, а TL431 должен сработать при входном напряжении V=7 В. Нетлист:
Получаем, что номинал верхнего резистора должен быть ZH=18 кОм.

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 06, 2021 19:36:44

А что с Фурье? С Фурье эта штука бороться может?

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 06, 2021 20:01:58

lumped.net, вы попали.Теперь Алиса не отвяжется.

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 06, 2021 20:09:18

Зачем отвязываться? Если эта штука работает с разложением сигнала по Фурье. Наоборот димонстрация продвигает проект.
Довай lumped.net жги!

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 06, 2021 21:30:31

Нет, я всё ещё преобразование Лапласа не изжил, так что на разложение по Фурье замахиваться пока не буду.
Ну и потом, это же тема про символьный решатель линейных цепей. А это значит, что в решении не могут появиться новые частоты. На выходе будут только те, которые есть на входе. Соответственно, и спектрами никакими заморачиваться не надо. Но если будет интересно, то можете в середине help'а посмотреть пример с преобразованием Фурье. Потом я понял, что намного проще эту задачу целиком решить преобразованием Хевисайда, но всё никак не соберусь исправить.
Тем не менее, если у Вас есть ценные соображения про Фурье, то излагайте - я с удовольствием прочту.

Re: Символьный решатель линейных цепей

Сб ноя 20, 2021 18:30:45

Продолжим нуллировать?

Задача остаётся той же самой, но на этот раз вместо зависимых источников с бесконечным усилением будем использовать необычные двухполюсники: нулятор и норатор.
Нулятор – это такой элемент, через который не протекает ток, а падение напряжения на нём всегда равно нулю. То есть нулятор обладает одновременно свойствами и обрыва цепи, и короткого замыкания.
Если построить ВАХ нулятора, то она будет состоять всего из одной точки в начале координат (v=0, i=0). Этим нулятор отличается от привычных всем элементов, ВАХ которых представляет собой линию.
Изображение
С помощью нулятора можно установить напряжение между двумя узлами цепи, не изменив при этом исходного распределения токов в схеме. Для этого между выбранными узлами добавляется новая ветвь, состоящая из нулятора, включенного последовательно с источником напряжения. Источник напряжения задаст разность потенциалов между узлами цепи, а нулятор предотвратит ток через эту ветвь.
Изображение
Аналогично можно задать ток через произвольную ветвь цепи, включив в неё нулятор и источник тока, соединенные параллельно друг другу. Исходное распределение потенциалов при этом останется неизменным, так как нулятор одновременно предотвратит появление разности потенциалов на источнике тока и не даст току от источника протекать через себя. Иначе говоря, нулятор вытолкнет ток источника в исходную цепь, установив таким образом ток в соотвествтующей ветви.
Изображение
Нулятор может пригодиться для решения обратных задач, когда неизвестен номинал какого-либо элемента в цепи. Классический пример – это задача на балансировку моста Уитстона. В отличие от прямых задач, где требуется найти токи в ветвях или напряжения в узлах, решения обратных задач не поддаются элементарной проверке SPICE-симулятором. В этом случае приходится выполнять симуляцию многократно, варьируя искомый параметр в поисках такого его значения, когда напряжение или ток совпадёт с заданным в условии задачи.

Увы, при всей своей полезности, нулятор не продаётся в магазине радиодеталей. Это сугубо теоретический элемент, чистая математическая абстракция. Принцип его работы заключается в том, чтобы добавить в систему, составленную по методу узловых потенциалов, одно дополнительное уравнение: ΔV=0, то есть установить падение напряжения на нуляторе равным нулю. При этом возникает проблема: так как в системе уравнений неизвестными являются потенциалы узлов Vn, то каждый нулятор сокращает одно неизвестное. Количество неизвестных становится меньше, чем количество уравнений, что в итоге даёт несовместную систему уравнений.

Итак, добавление нулятора в схему делает решение системы уравнений невозможным. Чтобы восстановить баланс между количеством уравнений и неизвестных, нужно вставить в схему ещё один теоретический двухполюсник – норатор. Особенность норатора состоит в том, что он может притвориться любым элементом схемы, поскольку его ВАХ покрывает собой все точки плоскости (V,I). Разумеется, в каждой конкретной схеме норатор будет пребывать в одной определённой рабочей точке. В то время как для обычных элементов рабочая точка обязана лежать на линии ВАХ, для норатора она может оказаться где угодно на плоскости в зависимости от внешних условий.
Изображение
С математической точки зрения норатор добавляет в систему узловых потенциалов одно неизвестное – ток через самого себя. В этом отношении норатор похож на идеальный источник напряжения, но только с неизвестным номиналом. (Обычный источник напряжения добавляет в систему не только свой ток в качестве неизвестного, но и дополнительное уравнение, определяющее разность потенциалов между его выводами).

Таким образом, если на каждый нулятор в схеме приходится один норатор, то система уравнений является совместной и, вообще говоря, может иметь решение. Комбинируя нуляторы, нораторы и импедансы, можно создавать различные эквивалентные схемы, некоторые из которых показаны на картинке (сборник “Патологические элементы в аналоговой технике” ISBN 978-3-319-75156-6).
Изображение
Но самая известная комбинация из нулятора и норатора называется нуллор и представляет собой не что иное как наш старый добрый идеальный операционный усилитель.
Изображение
Если всё изложенное выше пока кажется абсурдом, то Вы не одиноки. За содержательной критикой нуляторов и нораторов я советую обратиться к статье известного инженера (и, по совместительству, изобретателя нуллора) Бернарда Теллегена (Tellegen. On nullators and norators, 1966).

Прежде чем перейти к практике, замечу, что в обратных задачах норатор устанавливается на место элемента с неизвестным номиналом. Если задача требует определить неизвестный импеданс, то дополнительно нужно вычислить передаточную функция DPI (driving point impedance), то есть отношение V/I, приложенных к норатору.

Итак, снова расчёт делителя для TL431. Сначала определим, при каком входном напряжении он включится, если известны номиналы RH и RL. Чтобы задать падение напряжения на RL равное Vref, параллельно нижнему резистору подключается последовательная ветвь из источника напряжения Vref и нулятора. Вместо источника входного напряжения включается норатор.
Изображение
Нетлист:
Copy-Paste... Solve... напряжение в узле 1 (входное напряжение, на нораторе) равно
Изображение

Теперь определим номинал RH, чтобы TL431 включался при известном входном напряжении V. Норатор устанавливается вместо резистора RH, а источник входного напряжения V возвращается на место. Дополнительно просим решатель найти DPI норатора [T NOR].
Изображение
Нетлист:
Copy-Paste… Solve… резистор RH должен быть равен:
Изображение
Ответить