Продолжим нуллировать?
Задача остаётся той же самой, но на этот раз вместо зависимых источников с бесконечным усилением будем использовать необычные двухполюсники: нулятор и норатор.
Нулятор – это такой элемент, через который не протекает ток, а падение напряжения на нём всегда равно нулю. То есть нулятор обладает одновременно свойствами и обрыва цепи, и короткого замыкания.
Если построить ВАХ нулятора, то она будет состоять всего из одной точки в начале координат (v=0, i=0). Этим нулятор отличается от привычных всем элементов, ВАХ которых представляет собой линию.
С помощью нулятора можно установить напряжение между двумя узлами цепи, не изменив при этом исходного распределения токов в схеме. Для этого между выбранными узлами добавляется новая ветвь, состоящая из нулятора, включенного последовательно с источником напряжения. Источник напряжения задаст разность потенциалов между узлами цепи, а нулятор предотвратит ток через эту ветвь.
Аналогично можно задать ток через произвольную ветвь цепи, включив в неё нулятор и источник тока, соединенные параллельно друг другу. Исходное распределение потенциалов при этом останется неизменным, так как нулятор одновременно предотвратит появление разности потенциалов на источнике тока и не даст току от источника протекать через себя. Иначе говоря, нулятор вытолкнет ток источника в исходную цепь, установив таким образом ток в соотвествтующей ветви.
Нулятор может пригодиться для решения обратных задач, когда неизвестен номинал какого-либо элемента в цепи. Классический пример – это задача на балансировку моста Уитстона. В отличие от прямых задач, где требуется найти токи в ветвях или напряжения в узлах, решения обратных задач не поддаются элементарной проверке SPICE-симулятором. В этом случае приходится выполнять симуляцию многократно, варьируя искомый параметр в поисках такого его значения, когда напряжение или ток совпадёт с заданным в условии задачи.
Увы, при всей своей полезности, нулятор не продаётся в магазине радиодеталей. Это сугубо теоретический элемент, чистая математическая абстракция. Принцип его работы заключается в том, чтобы добавить в систему, составленную по методу узловых потенциалов, одно дополнительное уравнение: ΔV=0, то есть установить падение напряжения на нуляторе равным нулю. При этом возникает проблема: так как в системе уравнений неизвестными являются потенциалы узлов Vn, то каждый нулятор сокращает одно неизвестное. Количество неизвестных становится меньше, чем количество уравнений, что в итоге даёт несовместную систему уравнений.
Итак, добавление нулятора в схему делает решение системы уравнений невозможным. Чтобы восстановить баланс между количеством уравнений и неизвестных, нужно вставить в схему ещё один теоретический двухполюсник – норатор. Особенность норатора состоит в том, что он может притвориться любым элементом схемы, поскольку его ВАХ покрывает собой все точки плоскости (V,I). Разумеется, в каждой конкретной схеме норатор будет пребывать в одной определённой рабочей точке. В то время как для обычных элементов рабочая точка обязана лежать на линии ВАХ, для норатора она может оказаться где угодно на плоскости в зависимости от внешних условий.
С математической точки зрения норатор добавляет в систему узловых потенциалов одно неизвестное – ток через самого себя. В этом отношении норатор похож на идеальный источник напряжения, но только с неизвестным номиналом. (Обычный источник напряжения добавляет в систему не только свой ток в качестве неизвестного, но и дополнительное уравнение, определяющее разность потенциалов между его выводами).
Таким образом, если на каждый нулятор в схеме приходится один норатор, то система уравнений является совместной и, вообще говоря, может иметь решение. Комбинируя нуляторы, нораторы и импедансы, можно создавать различные эквивалентные схемы, некоторые из которых показаны на картинке (сборник “Патологические элементы в аналоговой технике” ISBN 978-3-319-75156-6).
Но самая известная комбинация из нулятора и норатора называется нуллор и представляет собой не что иное как наш старый добрый идеальный операционный усилитель.
Если всё изложенное выше пока кажется абсурдом, то Вы не одиноки. За содержательной критикой нуляторов и нораторов я советую обратиться к статье известного инженера (и, по совместительству, изобретателя нуллора) Бернарда Теллегена (Tellegen. On nullators and norators, 1966).
Прежде чем перейти к практике, замечу, что в обратных задачах норатор устанавливается на место элемента с неизвестным номиналом. Если задача требует определить неизвестный импеданс, то дополнительно нужно вычислить передаточную функция DPI (driving point impedance), то есть отношение V/I, приложенных к норатору.
Итак, снова расчёт делителя для TL431. Сначала определим, при каком входном напряжении он включится, если известны номиналы RH и RL. Чтобы задать падение напряжения на RL равное Vref, параллельно нижнему резистору подключается последовательная ветвь из источника напряжения Vref и нулятора. Вместо источника входного напряжения включается норатор.
Нетлист:
Copy-Paste... Solve... напряжение в узле 1 (входное напряжение, на нораторе) равно
Теперь определим номинал RH, чтобы TL431 включался при известном входном напряжении V. Норатор устанавливается вместо резистора RH, а источник входного напряжения V возвращается на место. Дополнительно просим решатель найти DPI норатора [T NOR].
Нетлист:
Copy-Paste… Solve… резистор RH должен быть равен: