Можно проще, и с учётом того, что у вас есть- генератор на 555 таймере и делитель на 10 на 561ИЕ8 - на выводе переноса (вывод 12) там формируется импульс МЕАНДР - 5 "тактов" низкий уровень, и 5 "тактов" - высокий- просто через резистор подавать на базу транзистора или на оптопару.
Если период импульсов в 240 секунд с 555 таймера вас не устраивает, то поставьте два счётчика последовательно - тогда нужно будет получать 24 секунды..
А в схеме на 561ИЕ16 - длительность выдержки будет зависеть от частоты мигания светодиода.
555 таймер и ДВА 561ИЕ8 - это платка размером примерно со спичечный коробок..
зы.. Я же предлагал - "если схема на ИЕ8 вас устроит, то я вам её придумаю"
Ну, собственно, вот схема на 555 таймере и двух счётчиках 561ИЕ8 (CD4017)-
На выходе таймера (вывод 3 U1) устанавливается длительность периода 24 секунды, на выводе 12 счётчика U3 получаете то, что вам нужно- 20 минут "вкл", 20 минут "выкл".
Сюда можно подключить оптопару для управления симистором (МОС3051, 3052, 3053, или МОС3061, 3062, 3063, в общем- то не особо принципиально)
ИЛИ транзистор с реле (на схеме показано и то, и другое, оставить только то, что выберете)
Если вам не нравится ДВА счётчика, можно оставить один, но тогда ёмкость конденсатора С1 увеличить до 1000 мкФ, и, соответственно, выставлять период 240 секунд (4 минуты).